Circunferencia

La circunferencia es una línea curva y plana o bien el lugar geométrico donde los puntos de un plano se encuentran a igual distancia del centro en una cantidad constante mejor conocida como radio. La circunferencia debe distinguirse del círculo el cual es el lugar geométrico que contiene los puntos en dicha circunferencia, donde están a una distancia igual al radio y los demás puntos a menor distancia que el radio o también la circunferencia es el perímetro del círculo.

La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia unidad.

Propiedades:

En la circunferencia, existen diversos puntos, rectas y segmentos que son:

El Centro: Punto interior equidistante de cada uno de los puntos de una circunferencia.

El Radio: El radio es igual a la longitud de la circunferencia dividida entre 2π. Es el segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma y mide la mitad del diámetro.

El Diámetro: El diámetro de una circunferencia mide el doble del radio y es el segmento que une dos puntos de la circunferencia el cual pasa por el centro. El diámetro es igual a la longitud de la circunferencia dividida entre π.

Cuerda: Segmento que une dos puntos de la circunferencia donde el diámetro es la cuerda de longitud máxima.

El Arco: El arco de la circunferencia es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia y se denota con el símbolo sobre las letras de los puntos extremos del arco.

Semicircunferencia: Cada uno de los dos arcos iguales delimitados por los extremos de un diámetro. Es la mitad de una circunferencia.

        

Longitud de la semicircunferencia: 

Posiciones relativas de una recta y una circunferencia en el plano:

Recta secante: Línea que corta a la circunferencia en dos puntos.

Recta tangente: Es la línea que toca a la circunferencia en un sólo punto.

Punto de Tangencia: Punto o lugar de contacto de la recta tangente con la circunferencia.

Recta exterior: No tiene ningún punto de corte con la circunferencia.

Posiciones relativas de dos circunferencias en el plano:

Exteriores:

La distancia entre los centros es mayor que la suma de las radios. Las circunferencias no tienen puntos en común.

Interiores:

La distancia entre los centros es menor que la diferencia de los radios y es mayor que cero; una circunferencia está dentro de otra por lo que no tienen ningún punto en común.

Concéntricas:

Los centros coinciden. No tienen puntos en común, salvo que R=R1, en este caso son la misma circunferencia.

Tangentes exteriores:

La distancia entre los centros es igual a la suma de los radios. El centro de cada circunferencia es exterior a la otra y tienen un punto en común, punto de tangencia.

Tangentes interiores:

La distancia entre los centros es igual a la diferencia entre los radios. El centro de una de las circunferencias está dentro de la otra. Tienen un punto en común.

Cuando tienen dos puntos en común:

Interior:

Su distancia al centro es menor que el radio.

Punto sobre la circunferencia:

Su distancia al centro es igual que el radio.

Punto exterior a la circunferencia:

Su distancia al centro es mayor que el radio.

Secantes:

La distancia entre los centros es mayor que la diferencia de los radios.

Ecuación canónica de la circunferencia

(x – h)² + (y – k)² = r² Donde las coordenadas del centro son (h, k) y “r” el radio de la circunferencia. Ejemplo: Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (6,3) y cuyo centro se encuentra en C(0,0)

Ecuación general de la circunferencia

Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia, podemos construir su ecuación ordinaria y si operamos los cuadrados, obtenemos la forma general de la ecuación de la circunferencia, así:      X² + Y² + Dx + Ey + F = 0

Prueba:

Ejemplo:

1. Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro C(2;6) y radio r = 4

(x - 2)² + (y - 6)² = 4²

X² - 2(2x) + 2² + y² - 2(6y) + 6² = 4²

X² - 4x + 4 + y² - 12y + 36 = 16

X² + y² - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0

X² + y² - 4x - 12y + 24 = 0

D = -4      E = -12      F = 24

2. Deducir la ecuación general de la circunferencia a partir de la ecuación canónica

“(x – h)² + (y – k)² = r²”

 Determinar la ecuación general de la circunferencia con centro en (- 1, 1) y cuyo radio mide

unidades

                                

(X - (- 1))² + (Y - 1)² = ()²

(X + 1)² + (Y - 1)² = 3

X² + 2X + 1 + Y² - 2Y - 1 = 0

X² + Y² + 2X - 2Y - 1 = 0  -------------- Ecuación general de la circunferencia.